1. 二项分布

<aside> 📽️ 伯努利分布

• 又名两点分布或0-1分布

• 伯努利试验是只有两种可能结果的单词随机试验 </aside>

• $n$ 个独立的伯努利试验的离散概率分布

$$ X\sim \mathbf{B}(n, p) $$

$$ P(X = k) = C_n^kp^k(1-p)^{(n-k)}, ~k = 0,1,\cdots,n $$

• $E(X) = np$
• $Var(X) = np(1 - p)$

<aside> 📖 二项分布矩生成函数

$M_X(s)=(q+pe^s)^n$

</aside>

2. 负二项分布

机变量$X$ 服从参数为$r$ 和 $p$ 的负二项分布，其概率分布律为

$$ X\sim\mathbf{NB}(r,p) $$

$$ f(k;r,p)=P(X=k)=\left( \begin{array}{cc} k+r-1\\r-1 \end{array} \right)p^r(1-p)^k,\\\text{for }k=0,1,2… $$

$$ \textbf{NB}(k;r,p)=C_{k-1}^{k-r}p^{r}(1-p)^{k-r} $$

• $E(X)=\frac rp$
• $D(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$

<aside> 📖 其中$k$是失败的次数，$r$是成功的次数，$p$是事件成功的概率。

表示在k+r

描述在一系列独立同分布的伯努利试验中，成功次数到达指定次数（记为r）时失败次数的離散概率分布。

</aside>

<aside> 📖 来源于负指数二项展开式

$(1-x)^{-r}= \sum_{i=0}^\infty \left( \begin{array}{cc} i+r-1 \\ r-1 \end{array} \right)x^i$

以 $x = 1-p$，两边同乘 $p^r$可得

</aside>

3. 几何分布

$$ X\sim\mathbf{G}(p) $$

$$ P(X = n) = (1 - p )^{n - 1}p,~n = 1,2,\cdots,~0<p<1 $$

• $E(X) = \frac1p$
• $Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$

<aside> 📖 几何分布矩生成函数

$M_X(s)=\frac{pe^s}{1-(1-p)e^s}$

</aside>

<aside> 📖 恰好第一次发生的负二项分布

</aside>

<aside> 📽️ 无记忆性

对于一个非负随机变量 $X$，如果对于任意 $s,t\geq0$ 有

$P\{X>s+t|X>t\} = P\{X>s\}$ 则$X$ 是无记忆的

$P(X>n)= q^n$

</aside>

4. 泊松分布