连续概率分布由概率密度函数 (probability density function, pdf) 定义

<aside> 📖 设连续性随机变量$X$有概率分布函数 $F(x)$，则其导数 $f(x)=F'(x)$称为$X$的概率密度函数

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1. 均匀分布

如果随机变量 $X$ 的概率密度为

$$ f(x) = \begin{cases} \frac1{b-a}, a<x<b \\ 0, x\leq a~or~x \geq b \end{cases} $$

则称随机变量$X$在区间$(a, b)$内服从均匀分布

$$ ⁍ $$

$$ F(x) = \begin{cases} 0, x<a \\ \frac{x-a}{b-a}, a\leq x< b \\ 1, x \geq b \end{cases} $$

• $E(X) = \frac{a+b}2$
• $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

2. 指数分布

如果随机变量 $X$ 的概率密度为

$$ f(x) = \begin{cases} \lambda e ^{-\lambda x},~ x > 0 \\ 0,~ x \leq 0 \end{cases} $$

则称 $X$ 服从参数为 $\theta (\theta > 0)$ 的指数分布

$$ X\sim E(\lambda) $$

$$ F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x},~x > 0 \\ 0,~x\leq0\end{cases} $$

• $E(X)=\frac1\lambda$
• $Var(X)=\frac1{\lambda^2}$

<aside> 📖 当 $x>0$ 时，设 $g(k)\sim\pi(\lambda x)，F(x)=1-g(0)=1-e^{-\lambda x}$, $x$ 为寿命

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<aside> 📖 相当于连续化版的几何分布

$X_n\sim G(X_n;p),~p = \frac\lambda n,~\lim_{n\to\infty}P\{X_n\leq nt\}=1-e^{-\lambda t}$

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<aside> 📖 指数分布描述了无老化时的寿命分布。

$\lambda$ 为瞬时失效率，$X$ 为寿命。

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<aside> 📽️ 无记忆性

对于一个非负随机变量 $X$，如果对于任意 $s,t\geq0$ 有

$P\{X>s+t|X>t\} = P\{X>s\}$ 则$X$ 是无记忆的

$P(X>n)= q^n$

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3. 正态分布

$$ X\sim \mathbf{N}(\mu,\sigma^2) $$

$$ \varphi(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

• $E(X) = \mu$
• $Var(X) = \sigma^2$

<aside> 📽️ 性质

• 曲线关于 $x = \mu$ 对称
• 当 $x = \mu$ 时取到最大值 $\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}$
• 固定 $\sigma$，改变 $\mu$，曲线沿着 $O_x$ 轴平移
• 固定 $\mu$，改变 $\sigma$ ，由于最大值为 $\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}$，曲线变得越尖，因而 $X$ 落在 $\mu$ 附近的概率越大 </aside>