总体分布

总体中所有个体观察值所构成的分布，不一定是正态分布

• 总体分布通常是未知的
  • 分布形式和参数都未知
  • 分布形式已知但参数未知

样本分布

一个样本中个体观察值的分布，也称为经验分布

• 当n为总体中个体数量时与总体分布完全一致

统计量

统计量是样本的函数，完全由样本决定的量

• 统计量具有二重性：抽样前是随机变量，抽样后是具体数据
• 统计量通常只依赖于样本，不依赖于总体分布中的未知参数
• 样本矩是最常用的样本统计量

样本矩统计量

• 样本k阶原点矩
  • $A_k = \frac1n\sum^n_{i=1}X_i^k$
• 样本k阶中心矩
  • $B_k=\frac1n\sum^n_{i=1}(X_i-\overline{X})^k$
• 样本均值
  • $\begin{aligned} \overline{X} &= \frac1n\sum^n_{i=1}X_i \\ &= A_1\end{aligned}$
• 样本方差
  • $\begin{aligned} S^2&=\frac1{n-1}\sum^n_{i=1}(X_i-\overline{X})^2 \\ &= \frac{n}{n-1}B_2 \end{aligned}$

抽样分布定理

设某总体的均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，$X1,…,X_n$ 为总体-样本，$\overline{X}$ 为样本均值，$S^2$为样本方差，则

1. $E(\overline{X})=\mu$