<aside> 📖 马尔科夫不等式
若 $Y$ 为只取非负值的随机变量，则对任意常数 $\epsilon >0$ 有
$P(Y\geq\epsilon)\leq \frac{E(Y)}\epsilon$
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<aside> 📖 **切比雪夫不等式：**马尔科夫不等式的特例
若$\text{Var}(Y)$存在，则
$P(|Y-EY|\geq\epsilon)\leq\frac{\text{Var}(Y)}{\epsilon^2}$
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又称为大数法则、大数律，是个数学与统计学的概念，意指数量越多，则其平均就越趋紧期望值。
$$ \lim_{n\to\infty}P(|\overline{X}_n-\mu|\geq\epsilon)=0 $$
设 $x_n$ 是n重伯努利试验中事件 $A$ 出现的次数，$p$ 是事件在每次试验中 $A$ 出现的概率，则对任意 $\varepsilon>0$，有
$$ \lim_{n\to\infty}P(|\frac{x_n}n-p|<\varepsilon)=1 $$
设 $X_1,…,X_n$ 为独立随机变量，有相同数学期望 $E(X_i)=\mu$ 和有限的方差 $Var(X_i)=\sigma^2,~\forall\varepsilon>0$，有
$$ \lim_{n\to\infty}P \left\{ \left|\frac1n\sum^n_{i=1}X_i-\frac1n\sum_{i=1}^nEX_i \right| <\varepsilon\right\} = 1 $$
设 $X_1,…,X_n$ 为独立随机变量，$E(X)=\mu$ 存在，则 $\forall\varepsilon>0$，有
$$ \lim_{n\to\infty}P \left\{ \left|\frac1n\sum^n_{i=1}X_i-\mu \right| <\varepsilon\right\} = 1 $$
设 $X_1,…,X_n$ 为独立同分布随机变量，$E(X)$ 存在，则 $\overline{X}_n$依概率收敛于 $EX$，则 $\forall\varepsilon>0$，有
$$ \lim_{n\to\infty}\mathbf{P}(|\overline{X}_n-EX|<\varepsilon)=1 $$