0. Gamma 函数

$$ \Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}dx $$

<aside> 📖 性质

• $\Gamma(s+1)=s\Gamma'(s)$
• $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$
• $\Gamma(0)=\Gamma(-1+1)=-\Gamma(-1)$ </aside>

1. 卡方分布

<aside> 📖 服从正态分布的多个分量的平方和符合的分布

</aside>

设 $X_1,…,X_n$ 相互独立，且 $X\sim\mathbf{N}(0,1)$，则称随机变量

$$ \chi^2=\sum_{i=1}^nX_i^2,~\chi^2\sim\mathbf{\chi^2}(n) $$

自由度为$n$。

1.1 性质

• $\chi^2\sim\chi^2(n)$$X^2\sim\chi^2(n)$，则 $E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n$
• 设 $\chi_1^2\sim\chi^2(n_1),\chi_2^2\sim\chi^2(n_2)$，且 $\chi_1,\chi_2$ 相互独立，则 $\chi_1+\chi_2\sim\mathbf{\chi^2}(n_1+n_2)$

1.2 正态样本均值和方差的抽样分布

设 $X_1,…,X_n$ 是总体 $\mathbf{N}(\mu,\sigma^2)$ 的样本，样本均值和样本方差有：

$$ \text{均值抽样分布定理 }\overline{X}\sim\mathbf{N}(\mu,\frac{\sigma^2}n) \\ \text{方差抽样分布定理 }\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) $$

2. $t$ 分布

<aside> 📖 正态分布中样本均值和标准差比值的分布

</aside>

设 $X\sim\mathbf{N}(0,1)$，$Y\sim\mathbf{\chi^2}(n)$，且 $X,Y$ 相互独立，则称随机变量

$$ T=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}n}} $$

所服从的分布为自由度为n的t分布，记为 $t(n)$