1. 矩估计法

<aside> 📖 以样本矩估计相应总体矩来求出估计量的方法，称为矩估计法，又称数字特征法

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随机变量$X$ 服从总体分布，其中包含 $k$ 个未知参数 $\theta_1,…,\theta_n,~\mu_l=E(X^l)$ 为总体的 $l$ 阶矩。$X_1,…,X_n$ 是来自 $X$ 的样本，$A_t$ 为样本的 $l$ 阶矩，那么求解以下方程组得估计值 $\hat{\theta_1},…,\hat{\theta_n}$的方法称之为矩估计法

$$ \begin{cases}\mu_1=A_1 \\ \mu_2=A_2 \\…\\ \mu_k=A_k\end{cases} $$

<aside> 📖 定理 6.2：矩估计定理

设随机变量 $X$ 的数学期望 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 都存在，且有 $\sigma^2>0$。$\mu,\sigma^2$均为未知。$X_1,…,X_n$是来自$X$ 的样本。

• $\hat{\mu}=\overline{X}=A_1$
• $A_2=\sigma^2+\mu^2$
• $\hat{\sigma}^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2=S^2=\frac n{n-1}B_2$ </aside>

<aside> 📖 变异系数 $\frac\sigma\mu$

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2. 极大似然估计

在已知总体 $X$ 概率分布时，对总体进行 $n$ 次观测，得到一个样本，选择概率最大的 $\theta$ 值 $\hat{\theta}$ 作为未知参数 $\theta$ 的真值估计是最合理的

1. $X$ 是离散型随机变量，似然函数为

$$ L(\theta)=\prod^n_{i=1}P(x_i:\theta) $$

1. $X$ 是连续型随机变量，似然函数为

$$ L(\theta)=\prod^n_{i=1}f(x_i:\theta) $$

$$ L(X_1,…,X_n;\theta_1^,≥,\theta_n^)=\max_{\theta_1,…,\theta_n}{L(X_1,…,X_n;\theta_1,≥,\theta_n)} $$

<aside> 📖 Definition 1

以总体 $X$ 的样本的似然函数 $L(\theta)$ 的解 $\theta(X_1,…,X_n)$ 来估计参数真值的方法。

解方程

• $\frac{dL}{d\theta} = 0~or~\frac{d\ln{L}}{d\theta}=0$，当不可导或不连续时不可用

得 $\hat{\theta}=\hat{\theta}(X_1,…,X_n)$，称为 $\theta$的极大似然估计值

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