1. 置信区间

设总体 $X$ 的分布 $F(x;\theta)$ 中含有未知参数 $\theta$，

若存在样本的两个估计量 $\underline\theta(X_1,…,X_n)$ 和 $\overline\theta(X_1,…,X_n)$

使得对于给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$，有

$$ P\{\underline\theta<\theta<\overline\theta\}=1-\alpha $$

则

• 随机区间 $(\underline\theta,\overline\theta)$ 称为总体参数 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的（双侧）置信区间，
• $\underline\theta$ 和 $\overline\theta$分别称为置信下限和置信上限。

<aside> 📖 单侧置信区间

在一些实际应用中，只需要某一侧的参数估计区间。

对于“好”的指标，如寿命，生产率，收入等，我们关心它的下限；

对于“坏”的指标，如次品率，事故率，有毒元素等，我们关心它的上限。

这一类的估计区间称为单侧置信区间。

</aside>

2. 常用区间估计公式

2.1 单总体均值区间估计

<aside> 1️⃣ 若总体近似服从正态分布，且 $\sigma^2$ 已知，$\mu$ 未知，则

• $\frac{\overline X - \mu}{\sigma / \sqrt n} \sim \mathbf{N}(0,1)$
• $P\{|\frac{\overline X - \mu}{\sigma / \sqrt n}|<Z_{\frac\sigma2}\}=1-\alpha$

置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$ (\overline X\pm\frac\sigma{\sqrt{n}}Z_{\frac\alpha2}) $$

</aside>

<aside> 2️⃣ 若总体近似服从正态分布，且 $\sigma^2$$,$$\mu$ 未知，则

• $\frac{\overline X - \mu}{S / \sqrt n}\sim t(n-1)$
• $P\{|\frac{\overline X - \mu}{S / \sqrt n}|<t_{\frac\alpha2}(n-1)\}=1-\alpha$

置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$ (\overline X\pm\frac S{\sqrt{n}}t_{\frac\alpha2}(n-1)) $$

</aside>

<aside> 3️⃣ 若总体不服从正态分布，但样本容量 $n$ 很大 ($n\geq30)$

• $\frac{\overline X - \mu}{S / \sqrt n} \sim \mathbf{N}(0,1)$
• $P\{|\frac{\overline X - \mu}{S / \sqrt n}|<Z_{\frac\sigma2}\}=1-\alpha$

置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$ (\overline X\pm\frac\sigma{\sqrt{n}}Z_{\frac\alpha2}) $$

</aside>

2.2 单总体方差区间估计

<aside> 1️⃣ 若总体近似服从正态分布，且 $\sigma^2$ 和 $\mu$ 未知，则

• $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
• $P\{\chi^2_{1-\frac\alpha2}(n-1)<\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}<\chi^2_{\frac\alpha2}(n-1)\}=1-\alpha$

置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$ (\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac\alpha2}(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac\alpha2}(n-1)}) $$

</aside>

2.3 双总体均值差区间估计

<aside> 1️⃣ 若两总体近似服从正态分布，且 $\sigma^2$ 已知，$\mu$ 未知，则

• $(\overline X-\overline Y)\sim\mathbf{N}(\mu_1-\mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$
• $\frac{(\overline X-\overline Y) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim \mathbf{N}(0,1)$

置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$ (\overline X-\overline Y\pm Z_{\frac\alpha2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}) $$

</aside>

<aside> 2️⃣ 若两总体近似服从正态分布，且 $\sigma^2$ 和 $\mu$ 未知，但$\sigma_1=\sigma_2$则

• $\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)$
• $S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$

置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$ (\overline X-\overline Y\pm t_{\frac\alpha2}(n_1+n_2-2) \frac{S_w}{\sqrt{1/n_1+1/n_2}}) $$

</aside>