1. 加法和减法

必须确保两个操作数有相同的指数值

$$ X+Y=(X_S\times B^{X_E-Y_E}+Y_S)\times B^{Y_E} \\ X-Y=(X_S\times B^{X_E-Y_E}-Y_S)\times B^{Y_E} \\ X_E \leq Y_E $$

<aside> 📖 小变大，保护高位

</aside>

<aside> 📖 步骤过程

• 检查0
• 对齐有效值
• 加或减有效值
• 规格化结果 </aside>

<aside> 📖 Exponent

• Overflow
  • A positive exponent exceeds the maximum possible exponent value
  • Designated as $+\infty$ or $-\infty$
• Underflow
  • a negative exponent is less than the minumum possible exponent value
  • Reported as $0$ </aside>

<aside> 📖 Significand

• Overflow
  • The addition of two signicands of the same sign may result in a carry of the most significant bit
  • Fixed by realignment
• Underflow
  • In the process of aligning significands, digits may flow off the right end of the significand
  • Some form of rounding is required </aside>

<aside> 📖 原码加法 Sign Magnitude Addition

如果两个操作数有相同的符号，加法；反之减法

加法：直接相加

• 最高位进位，则溢出
• 符号和被加数相同

减法：加第二个操作数的补数

• 如果最高位有进位，正确（符号与被减数相同）
• 否则，计算补码（符号与被减数相反） </aside>

$\text{e.g.}$

$$ \begin{aligned} 0.8125-0.625&=0.8125+(1-0.615)-1\\&=0.8125+\underbrace{0.0375}_{\text{two's comp}}-1\\&=0.1875 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}0.625-0.8125&=0.625+(1-0.8125)-1\\&=0.625+0.1875-1 \\&=-(1-0.8125)\\&=\underbrace{-0.1875}_{\text{two's comp}}\end{aligned} $$

2. 乘法

1. 无论哪个操作数为0，乘积即为0
2. 从阶值的和中减去一个偏移量
3. 有效值相乘
4. 结果的规格化和舍入处理
   • 规格化可能导致阶值下溢

3. 除法

1. 如果除数为0，则报告出错，或将结果设为无限大
2. 如果被除数是0，答案为0
3. 被除数指数减去除数指数，加上偏移量
4. 有效值相除
5. 结果的规格化和舍入处理

4. 精度考虑

保护位

• 寄存器的长度几乎总是大于有效值位长与一个隐含位之和
• 寄存器包含的这些附加位，称为保护位
• 保护位用0填充，用于扩充有效值的右端

舍入

• 对有效值操作的结果通常保存在更长的寄存器中
• 当结果转换回浮点格式时，必须去掉多余的位
  • 就近舍入：结果被舍入成最近的可表示的数
  • 朝$+\infty$舍入：结果朝正无穷方向向上舍入
  • 朝$-\infty$舍入：结果朝负无穷方向向下舍入
  • 朝0舍入：结果朝0舍入