对总体分布（已知具体形式）中未知参数的假设检验称为参数假设检验

$\alpha$ 默认0.05

1. Z检验

<aside> 📖 $Z$ 检验用标准正态分布的理论来推断均值差异发生的概率，从而判定均值差异是否显著。

• 通常用于方差$\sigma^2$ 已知时，验证样本相应的总体均值差异。
• 当$\sigma^2$ 未知时，我们考虑使用样本方差$s^2$ 替代理论方差$\sigma^2$ ，然而这通常适用于大样本（大于30）均值检验。
• 在小样本且方差未知情况下，推荐釆用$t$ 检验。 </aside>

<aside> 📖 $Z$ 检验的基本步骤

1. 建立假设，选定 $\alpha$
2. 建立检验统计量$Z$，计算数值 $z$
3. 根据 $\alpha$ 与 $z$ 计算拒绝域
4. 根据样本是否落入拒绝域作出判断，如有需要可以进一步输出p值 </aside>

<aside> 💡 检验场景

<aside> 1️⃣ 若总体近似服从正态分布，且 $\sigma^2$ 已知，则构造检验统计量

$$ Z=\frac{\overline X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\mathbf{N}(0,1) $$

</aside>

<aside> 2️⃣ 若总体不服从正态分布，但样本容量较大，则构造检验统计量

$$ Z=\frac{\overline X-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim\mathbf{N}(0,1) $$

</aside>

</aside>

2. t检验

<aside> 📖 $t$检验主要利用$t$分布理论来推断均值差异发生的概率，从而判定均值差异是否显著

• 通常用于方差$\sigma^2$ 未知时的正态总体均值$\mu$ 检验
• 当样本容量充分大时，与$Z$ 检验趋于一致 </aside>

<aside> 💡 单总体检验统计量 $t$

$$ t=\frac{\overline X-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) $$

</aside>

单总体均值t检验汇总

<aside> 💡 双总体检验统计量 $t$

• $\frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)$
• $S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}$ </aside>

双总体均值t检验汇总

<aside> 💡 配对数据统计量 $t$

成对正态时双总体可退化为单总体

• $D_i=X_i-Y_i$
• $t=\frac{\overline d}{S_D/\sqrt n}\sim t(n-1)$ </aside>

配对数据t检验汇总

3. 卡方检验

<aside> 📖 $\chi^2$检验主要利用$\chi^2$分布理论来推断方差变化发生的概率，从而判定方差变化是否显著

• 可用于$\mu$ 已知或未知时 </aside>

<aside> 💡 单总体检验统计量 $\chi^2$

$$ \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1) $$

</aside>

4. F检验

<aside> 📖 F检验主要利用F分布理论来推断方差比变化发生的概率，从而判定方差比变化是否显著

• 可用于检验两样本相应的总体方差比是否变化显著 </aside>

<aside> 💡 双总体检验统计量 F

$$ F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1, n_2-1) $$

</aside>