1. 独立性的多维矩

<aside> 📖 数学期望的加法分离

对于任意的随机变量 $X_1,…,X_n$，存在

$$ ⁍ $$

</aside>

<aside> 📖 数学期望的乘法分离

对于任意的独立随机变量 $X_1,…,X_n$，存在

$$ E(\prod_{i=1}^nX_i)=\prod_{i=1}^nE(X_i) $$

</aside>

<aside> 📖 方差的加法分离

对于相互独立的 $X,Y$，存在

$$ D(X+Y)=D(X)+D(Y) $$

</aside>

2. 相关性的多维矩

2.1 协方差

<aside> 📖 定义式

随机变量$X$和$Y$的协方差 $\text{Cov}(X，Y)$ 定义为

$$ \text{Cov}(X，Y)=E((X-EX)(Y-EY)) $$

方差在多维变量的推广

</aside>

<aside> 📖 计算式

$$ \text{Cov}(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y) $$

</aside>

<aside> 📖 性质

• $\text{Cov}(X，Y)=\text{Cov}(Y，X)$
• $\text{Cov}(a,a)=0,~a$ 为常数
• $\text{Cov}(aX，bY)=ab\text{Cov}(X，Y),~a,b$ 为常数 </aside>

<aside> 📖 推论

• $\text{Cov}(X+Y,Z)=\text{Cov}(X,Z)+\text{Cov}(Y,Z)$
• $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2\text{Cov}(X,Y)$
• $X$ 与 $Y$ 相互独立 $\Rightarrow \text{Cov}(X,Y)=0$ </aside>

<aside> 📖 相关系数

设随机变量 $X,Y$ 的数学期望和方差都存在，称

$$ \rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} $$

为随机变量 $X,Y$ 的相关系数

<aside> 📖 Schwarz不等式

$$ [\text{Cov}(X,Y)]^2\leq\sigma_X^2\sigma_Y^2 $$

</aside>

<aside> 💡 相关系数归一性

$$ |\rho_{XY}|\leq1 $$

</aside>

<aside> 💡 线性相关定理

• $|\rho_{XY}|=1$ 的充要条件是 $X,Y$ 几乎处处线性相关
• $|\rho_{XY}|=0$ 仅表示不具有线性关系，但可能具有其他的函数关系
• $0<|\rho_{XY}|<1$ 表示 $X,Y$ 之间有一定程度的线性关系而非严格的线性关系 </aside>

</aside>