1. 离散函数与连续函数的分布

<aside> 1️⃣ 若 $Y$ 为离散随机变量

1. 写出 $Y$ 的可能取值 $y_1,…,y_n$
2. 找出 $Y=y_i$ 的等价事件 $X\in D$
3. 求得 $P(Y=y_i)=P(X\in D)$ </aside>

<aside> 2️⃣ 若 $Y$ 为连续随机变量

1. 写出 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=P_Y(Y\leq y)$
2. 找出 $Y=y_i$ 的等价事件 $X\in D$，得 $F_Y(y)=P(X\in D)$
3. 求得 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ </aside>

<aside> 📖 被遗忘的微积分…

$$ \begin{aligned}\frac d {dx}\int_a^{g(x)}f(t)dt &= g'(x)\frac {d }{d(g(x))}\int_a^{g(x)}f(t)dt \\ &= f(g(x))g'(x)\end{aligned} $$

</aside>

2. 单调函数变换

<aside> 📖 $X$ 的密度函数为 $f_X(x),~-\infty<x<\infty,~Y=g(X),~g(x)$ 严格单调，

则$Y$ 的概率密度为：

$$ f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y) |,~a<y<b $$

其中：

• $a= \min(g(-\infty),g(+\infty)),~b=\max(g(-\infty),g(+\infty))$
• $h(y) = g^{-1}(x)$ </aside>

<aside> 📖 数学期望

$Y=g(X)$

<aside> 📖 若 $X$ 为离散型随机变量，分布律为 $P(X=x_k)=p_k,~k=1,2,…$，如果级数 $\sum_{k=1}^\infty g(x_k)p_k$ 绝对收敛，则

$$ E(Y)=E(g(X))=\sum_{k=1}^\infty g(x_k)p_k $$

</aside>

<aside> 📖 若 $X$ 为具有密度函数$f(x)$ 的连续型随机变量， $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$ 绝对收敛，则

$$ E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx $$

</aside>

</aside>

3. 对两个随机变量的函数分布

<aside> 📖 对两个随机变量的函数分布

$Z=X+Y$，随机变量 $X,Y$的联合密度为 $f(x,y)$，则

$$ ⁍ $$

当 $X,Y$ 相互独立时：

<aside> 📖 卷积公式

$$ \begin{aligned} f_Z(z)&=f_X\times f_Y\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy\\&=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx \end{aligned} $$

</aside>

</aside>

4. 极值函数的分布

随机变量 $X,Y$ 相互独立

$$ \begin{aligned}F_{max}(z)&=F_X(z)F_Y(z) \\ F_{min}(z) &=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))\end{aligned} $$